两个数列，一个数列有界，另一个数列极限等于零，求证：两数列相乘的极限等于零。详细过程_经济

创始人

2024-10-13 04:32:00

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一、两个数列，一个数列有界，另一个数列极限等于零，求证：两数列相乘的极限等于零。详细过程

证明：

因为数列{Xn}有界

所以不妨假设|Xn|0)

因为数列{Yn}的极限是0

则对于任意给出的e,总存在N,使得n>N时,|Yn|

于是当n>N的时候|XnYn|=|Xn||Yn|

由于e的任意性

所以数列{XnYn}的极限是0

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证明：∵数列{Xn}有界，因此：∀Xn∈{Xn}，∃M>0，当n>N1时（N1∈N），∴|Xn|≤M成立又∵lim(n→∞)Yn=0∴∀ε'>0，∃N2∈N，当n>N2时，必有：|Yn-0|0|Xn|·|Yn|=|XnYn|

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